ඛගෝල යාන්ත්‍ර විද්‍යාව
තාරකා විද්‍යා ඔලිම්පියාඩයේදී මෙන්ම මෙරට පාසැල් අතර පැවැත්වෙන දැනුම මිනුම තරඟ වලදී පවා අනිවාර්යයෙන්ම අන්තර්ගත වන ගැටළු අතර ඛගෝල යාන්ත්‍රිකයේ ගැටළු ප්‍රධාන තැනක් ගනී. එයට හේතුව නූතන තාරකා විද්‍යාවේ පදනම වැටී ඇත්තේ කෙප්ලර්, නිව්ටන්, ඔයිලර්, ලග්‍රාන්ජ් වැනි වියතුන් අතින් පෝෂණය වූ මෙම විෂය තුලින් වන බැවිනි. මෙහි මූලික අරමුණ වන්නේ අභ්‍යවකාශය තුල වස්තූන්ගේ චලිතය ගණිතමය ලෙස ඉදිරිපත් කිරීමයි.
නිකලස් කොපර්නිකස් විසින් සූර්ය කේන්ද්‍රවාදය ඉදිරිපත් කල මුල් කාලයේ එම මතයට එරෙහි වූ පිරිස් ඉදිරිපත් කල ප්‍රධාන තර්කයක් වූයේ ග්‍රහලෝක වල දෘෂ්‍ය පිහිටීම් හා සූර්ය කේන්ද්‍ර ආකෘතිය ඔස්සේ සිදුකල පෙරයීම් අතර පරස්පරතා පැවතීමයි. කෙසේ නමුත් කෙප්ලර් විසින් ග්‍රහයින්ගේ චලිතය ඉලිප්සාකාර මාර්ග වල සිදුවන බව නියම 3ක් ඇසුරින් පැහැදිලි කිරීමත් සමග එතෙක් පැවති සියළු අභියෝග ජයගෙන සූර්ය කේන්ද්‍රවාදය පිළිගැනීමට ලක්විය.කෙප්ලර් නියම ගැන දැනගැනීමට පෙර ඉලිප්සය හා එහි ලක්ෂණ පිළිබඳ මඳක් විමසා බලමු.
සමහරවිට ඔබ කුඩා කාලයේ ලෑල්ලක් මත අල්පෙනෙති දෙකක් රඳවා දෙකෙලවර එකට ගැටගැසූ නූල් කැබැල්ලක් එම අල්පෙනෙති දෙක වටා පිහිටන පරිදි තබා නූල තදවන පරිදි පැන්සලක් ඒ වටා ගෙන ගිය විට ඉලිප්සයක් ඇඳෙන බව අත් හදා බලන්නට ඇත. එම අල්පෙනෙති දෙක පැවති ලක්ෂයන් දෙක ඉලිප්සයේ නාභි(foci) ලෙස හඳුන්වයි(රූපයේ F1 හා F2). මෙම නාභි හරහා යන PQ රේඛාව මහාඅක්ෂය(major axis) නම්වන අතර ඊට ලම්භව ඇති RS රේඛාව සුළුඅක්ෂය (Minor axis) වේ.ඉලිප්සයේ කේන්ද්‍රය C වේ. තවද නාභිය හරහා මහා අක්ෂයට ලම්භව ඇඳි TU රේඛාව නාභීය ලම්භය(latus rectum) ලෙස හැඳින්වේ. ඉලිප්සයක විශේෂ අවස්ථාවක් ලෙස වෘත්තය හඳුනාගත හැක.ඒ නාභීන් දෙකම සමපාත වූ ඉලිප්සයක් ලෙසිනි. යම් ඉලිප්සයක් වෘත්තයකින් කෙතරම් අපගමනය වී තිබේද යන්න පිලිබඳ අදහසක් එහි විකේන්ද්‍රීයතාවය (eccentricity) යන රාශියෙන් ලබාගත හැක. අර්ථදැක්වීම අනුව විකේන්ද්‍රීයතාවය(e) වන්නේ ඉලිප්සයේ නාභි දෙක අතර දුර(F1F2) හා මහාඅක්ෂයේ දිග(PQ) අතර අනුපාතයයි. එනම් e=F1F2/PQ වෘත්තයක් සඳහා e=0 වේ. දැන් PQ=2a ලෙසද RS=2b ලෙසද TU=2l ලෙස හා F1F2=2c ලෙස ගෙන ඒවා අතර පහත සම්බණ්ධතා ලබා ගත හැක.
e =c/a……….[1]
b =a√(1-e^2)….[2]
ඉලිප්සයේ වර්ගඵලය = πab……….[3]
l = a(1-e^2)…..[4]
r =l/(1-eCOSθ)….[5]
rයනු F1 නාභියේ සිට පරිධියේ යම් ලක්ෂයකට ඇඳි සරලරෙඛාවේ දිගයි.
මීලඟට අපි කෙප්ලර් විසින් ඉදිරිපත් කල ග්‍රහලෝක වල චලිත පිළිබඳ නියම තුන සලකා බලමු.
පළමුවන නියමය
සියළුම ග්‍රහලෝක සූර්යයා වටා ඉලිප්සාකාර පථ වල ගමන් කරන අතර සූර්යයා එකී ඉලිප්ස වල එක් නාභියක පිහිටයි. යම් ග්‍රහලොවක් සූර්යයාට ලඟින්ම පවතින ස්ථානය සූර්ය සමීපකය(perihelion) ලෙසින්ද සූර්යයාට දුරින්ම පිහිටන ස්ථානය සූර්ය දුරකය(aphelion) ලෙසින්ද හැඳින්වේ. එම දුරවල් පිළිවෙලින් r_p හා r_a ලෙස ගත් විට [5] සමීකරණයට අනුව
r_p = a(1-e)\n\nr_a = a(1+e) ලෙස ලැබේ.
දෙවන නියමය
සූර්යයා හා යම් ග්‍රහලොවක් යා කර අඳින රේඛාව සමාන කාලාන්තර වලදී සමාන වර්ගඵල පසුකරයි. ග්‍රහලොවේ ආවර්ත කාලය P හා එහි කක්ෂයේ මහා අක්ෂ්යේ අර්ධය a දන්නා විට ඒකක කාලයකදී පසු කර යන වර්ගඵලය ඉලිප්සයේ මුළු ව.ඵ./P යන සම්බන්ධයෙන් ලැබේ. ඉහත රූපයේ දැක්වෙන පරිදි දෙනලද වර්ගඵලයක් පසු කිරීමට එම ග්‍රහලොව හිරු සන්නයේදී වැඩි වේගයකින්ද හිරුට දුරින් ඇති විට අඩු වේගයකින්ද චලිත වේ.
තෙවන නියමය
යම් ග්‍රහලොවක ආවර්ත කාලයේ වර්ගය එහි කක්ෂයේ අර්ධ මහා අක්ෂයේ ඝනයට අනුලෝමව සමානුපාතික වේ. එනම් p^2 α a^3…….[6] මෙහි p පෘථිවි අවුරුදු වලින්ද, a නක්ෂත්‍ර ඒකක වලින්ද ගත් විට සෞරග්‍රහ මණ්ඩලයේ ග්‍රහලොවක් සඳහා p^2 = a^3 වේ. ස්කන්ධය සූර්ය ස්කන්ධ M වූ තරුවක් වටා යන ග්‍රහලොවක් සඳහා මෙය M(p^2) = a^3 වේ
මෙම නියම තුන ඇසුරෙන් ග්‍රහලෝක, වල්ගාතරු මෙන්ම හිරු වටා සංවෘත පථයක ගමන් කරන ඕනෑම වස්තුවක ගමන විස්තර කල හැකි විය.කෙසේ නමුත් මෙම නියමයන් ගණිතමය ලෙස පැහැදිලි කලේ කෙප්ලර්ට පසු බිහි වූ අයිසැක් නිවුටන් විද්වතා විසිනි. කෙප්ලර්ගේ තෙවන නියමයේ නිවුටන්ගේ ආකාරය දැන සිටීමද බොහෝ ගැටළු වලදී ඉතා වැදගත් වේ. එය පොදු ගුරුත්ව කේන්ද්‍රයක් වටා යන වස්තු දෙකකින් සමන්විත ඕනෑම පද්ධතියක් සඳහා වලංගු වේ. එවැනි පද්ධතියක වස්තු වල ස්කන්ධ m1 හා m2 ලෙසද ආවර්ත කාලය p ලෙසද වස්තු අතර මද්‍යයන දුර a ලෙසද ගත් විට
(m1+m2)(p^2)=(4π^2*a^3)/G වේ……..[7]
මෙහි G යනු සාර්වත්‍ර ගුරුත්ව නියතයයි. පෘථිවිය වටා කෘතිම චන්ද්‍රිකා වල චලිතයද සූරයයා වටා ග්‍රහලෝක වල චලිතයට අනුරූප වේ. රොකට් තාක්ෂණය විෂයේදී යම් ප්‍රවේගයකින් ගුවන්ගත කල රොකටයක පථය, යම් මොහොතකදී එහි වේගය වැනි පරාමිතීන් දැනගැනීමට අවශ්‍යය වේ. ඒ සඳහා නිවුටෝනියානු ගුරුත්ව සමීකරණ හා ශක්ති සංස්තිථි නියමය භාවිතා කර අපට ප්‍රතිඵල කීපයක් ලබා ගත හැක.
ස්කන්ධය M වන ග්‍රහවස්තුවක සිට r දුරකින් v වේගයකින් චලිතවන m ස්කන්ධයක් ඇති අභ්‍යවකාශ යානයක් සලකමු. එහි මුළු ශක්තිය සඳහා සමීකරණය නිවුටෝනියානු යාන්ත්‍රිකයට අනුව
E = චාලක ශක්තිය + විභව ශක්තිය
E = (1/2)(mv^2) + (-GMm/r)………[8]
මෙම අගය ඍන අගයක්නම් යානයේ පථය ඉලිප්සයකි. එය ශුන්‍ය නම් පථය පාරාවලයක් වන අතර ධන අගයක් ගනීනම් බහුවලයකි. ඉලිප්සාකාර පථයක යන අවස්ථාවේදී ඕනෑම මොහොතක යානාවේ ප්‍රවේගය
v^2 = G(m+M)(2/r – 1/a)……….[9]
යන්නෙන් ලැබේ.(m+M) යනු යානයේ හා ග්‍රහලොවේ ස්කන්ධ වල එකතුවයි. ග්‍රහලොවේ කේන්ද්‍රයේ සිට යානයට දුර r වන අතර a යනු යානය ගමන් කරන පථයේ අර්ධමහා ක්ෂයයි. එමෙන්ම m<<M බැවින් ඉහත සමීකරණය හා මුළු ශක්තිය සඳහා සමීකරණය භාවිතාකර ඉලිප්සාකාර කක්ෂයක යන ස්කන්ධය m වූ වස්තුවක මුළු ශක්තිය
E= -GMm/2a……….[10]
බව පෙන්විය හැක. පථය පරාවලයක් නම් ග්‍රහවස්තුවට r දුරකින් ඇති විට යානයේ වේගය
v= √(2GM/r)………..[11]
යන්නෙන් ලැබේ.(ඉහත 2 අවස්ථාවේ v උක්ත කර බලන්න.) මෙය ඔබට සුපුරුදු වියෝග ප්‍රවෙගය සඳහා සමීකරණයයි. ඒ අනුව ග්‍රහවස්තුවක සිට වියෝග ප්‍රවේගයෙන් ගමන් අරඹන යානයක් පාරාවලියික මඟක ගමන් කරන බව පෙනේ. තවද යම් පථයක ගමන් කරන වස්තුවක් මත යෙදෙන භාහිර බලයක් හේතුවෙන් එහි මුළු ශක්තිය වෙනස් වී සම්පූර්ණයෙන්ම වෙනස් නව මඟක ගමන් කිරීමට ඉඩ ඇත. උදාහරණයක් ලෙස හිරු වටා බහුවලීක මාර්ග වල ගමන් කරන ඇතැම් ධූමකේතු හිරු ආසන්නයට එන විට බ්‍රහස්පති ග්‍රහයාගේ බලපෑම හේතුවෙන් කක්ෂය වෙනස් වී ඉලිප්සාකාර පථයක ගමන් කිරීමට ඉඩ ඇත.
අප මෙතෙක් සලකා බැලූ කරුණු නිව්ටෝනියානු රාමුව තුල ගොඩනැගුනු ඒවා වන අතර අයින්ස්ටයින්ගේ සාධාරණ සාපේක්ෂතාවාදී රාමුව තුල ගොඩනැගෙන ඛගෝල යාන්ත්‍රික යමයන් වඩාත් සාධාරණ හා නිරීක්ෂණ සමග වඩාත් ගැලපෙන නියමයන් ලෙස හැඳින්විය හැක. නමුත් ඒවා විස්තර කිරීම මෙම ලිපි පෙලෙහි සීමාවෙන් හා තාරකාවිද්‍යා ඔලිම්පියාඩයේදී බලාපොරොත්තුවන දැනුම් මට්ටමෙන් ඔබ්බෙහි පවතියි. මෙතෙක් පැවති ඔලිම්පියාඩ් තරඟ වලදී යොමු කරන ලද ඛගෝල යාන්ත්‍රික ගැටළු විසඳීම සඳහා ඉහත ඉදිරිපත් කර ඇති කරුණු මෙන්ම වෙනස් අයුරින් සිතා ගැටළු වෙත පිවිසීමේ හැකියාවද ඉතා වැදගත් වේ.මේ සඳහා උදාහරණයක් ගෙන බලමු.
Q:එක්තරා මිසයිලයක් පෘථිවි පෘෂ්ඨය මතින් තිරසට π/6 ක ආනතියකින් හා V=√(GM/R) ආරම්භක වේගයකින් ගමන් අරඹයි. මෙහි M හා R යනු පෘථිවියේ ස්කන්ධය හා අරයයි. (M=5.98*10^24kg,R=6.38*10^6m)
i. මිසයිලයේ පථය අර්ධමහා අක්ෂය a=R වූ ඉලිප්සයක් බව පෙන්වා එය ලඟාවන උපරිම උස,h, සොයන්න.
ii. මිසයිලයේ පරාසයද පියාසර කාලයද ගණනය කරන්න.
Answers:
i. යානයේ මුළු ශක්තිය= -GMm/2R < 0 [m යනු මිසයිලයේ ස්කන්ධයයි] එම නිසා පථය ඉලිප්සයක් හෝ වෘත්තයකි. θ = π/6 > 0 බැවින් එය ඉලිප්සයකි. අර්ධම්හා අක්ෂය a වන පථයක යන මිසයිලයේ මුළු ශක්තිය -GMm/2a වන බැවින් a=R වේ. ඉහත පිළිතුර අනුව ඇඳි රූපය පහත දැක්වේ.
මිසයිලය ලඟාවන උපරිම උස (h) = MH = CH-CM = a-(R-RSinθ) = RSinθ = R Sin(π/6) = R/2\n\nii. පරාසය = AB චාප දිග= 2(π/2 – θ)R = 2πR/3 ගුවන් කාලය t ලෙසද ආවර්ත කාලය T ලෙසද ගනිමු.
T = √[4π^2*R^3/GM] = 84.5 min
කෙප්ලර් 3වන නියමයෙන්,
t/T = OAHB වර්ගඵලය/ ඉලිප්සයේ වර්ගඵලය
OAHB වර්ගඵලය = OAB(ත්‍රිකෝණයේ වර්ගඵලය) + ABH (ඉලිප්සයේ අර්ධයේ වර්ගඵලය)
= 2*(1/2)*ae*b + (1/2)πab
ජ්‍යාමිතියෙන් e=1/2 ලෙස ලැබේ.
එනයින් t/T = 1/2π + 1/2
ඒ අනුව පියාසර කාලය t = 55.7min…
දැන් පහත ප්‍රශ්න සඳහා පිලිතුරු සැපයීමට උත්සාහ කරන්න.
1.ඉලිප්සීය පථයක යන ග්‍රහලොවක වැඩිම හා අඩුම වේග අතර අනුපාතය e ඇසුරින් සොයන්න.
2.පෘථිවියේ සිට අඟහරු වෙත පාරාවලයික මඟක යාමට ගුවන්ගත වන රොකට්ටුවක් ගමන අරඹන්නේ එම පරාවලයේ නාභියේ සූර්යයා පවතින පරිදි හා රොකටයේ ආරම්භක ප්‍රවේගය පෘථිවි කක්ෂයට ස්පර්ශීයව පවතින පරිදිය. පෘථිවිය හා අඟහරු, අරයයන් පිළිවෙලින් 1AU හා 1.5AU වන වෘත්තාකාර කක්ෂ වල ගමන් කරන බව උපකල්පනය කර රොකටය අඟහරු කක්ෂයට ලඟා වනවිට එහි ගමන් දිශාව හා අඟහරුගේ කක්ෂය අතර කෝණය සොයන්න. (අඟහරුගේ ගුරුත්වය හේතුවෙන් වන බලපෑම නොසලකා හරින්න)
